Asetamme koordinaatiston nollakohdaksi (0, 0) pyramidin sivupoikkileikkauksen kannan keskikohdan ja nimeämme sen Origoksi. Näin Kanteleen sijainti asettuu koordinaatiston kohtaan (-1, 0) ja Kalevalan sijainti kohtaan (0, √φ) eli (0, 1.272). Kuvion keskelle muodostuu näin suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituudet ovat 1 ja √φ (1,272) ja hypotenuusan pituus φ (1,618).
Suuren pyramidin leveys ja korkeus metreissä ilmaistuna ovat noin 230,3 ja 146,5 metriä. Rajapatsaan geometriasta löytyvät samat likiarvot, mutta kilometreissä. Ensin jaamme luvut kuitenkin sadalla, jotta saamme tuotua ne koordinaatistoon.
230,3 / 100 = 2,303
146,5 / 100 = 1,465
Rajapatsaan johtamiseen käytetyt alkuarvot:
Suuren pyramidin geometriasta johdetut suhdeluvut: 1, √φ ja φ.
Suuren pyramidin korkeus ja leveys metreissä jaettuna sadalla: 1,465 ja 2,303.
Nyt kaikki on valmista Rajapatsaan keskuskuvion ja edelleen koko Rajapatsaan rungon geometrian johtamiseksi. Seuraavilla sivuilla osoitan viiden vaiheen kautta, kuinka Rajapatsaan runko johdetaan suoraan Suuren pyramidin matemaattisista suhdeluvuista ja sen metrimitoista.
Vaiheet 1-3 vasemmalta oikealle: Vaihe 1: Rajapatsaan geometrian lähtökohtana on Suuren pyramidin sivupoikkileikkaus ja sen sisältämä suorakulmainen kolmio, jonka leveyskateetin pituus on 1, korkeus √φ (1,272...) ja hypotenuusa φ (1,618...). Nimeämme huipun kirjaimella A ja alakulmat kirjaimilla B ja C. Vaihe 2: Jatkamme keskuskolmion hypotenuusien piirtämistä lakipisteen ohi (kuvassa ruskealla) niin kauan, kunnes janat kohtaavat keskuskolmion kulmista B ja C nousevien 2,303 mittaisten janojen päätepisteet (kuvassa sinisellä). Nimeämme risteyskohdat pisteiksi D ja E. Vaihe 3: Piirrämme pisteistä D ja E 1,465 pituiset loivasti alaspäin ulkonevat janat (kuvassa punaisella) siten, että janojen päätepisteet kohtaavat kolmion huippupisteestä A piirrettyjen φ-mittaisten (1,618...) janojen päät (kuvassa vihreällä). Nimeämme janojen risteyskohdat pisteiksi F ja G. Näin keskuskolmion huipun molemmille puolille muodostuvat kolmion muotoiset siivekkeet, joiden avulla voimme johtaa Rajapatsaan kaikki loput mittasuhteet. Nyt Rajapatsaan keskuskuvion muoto on valmis, joskaan ei vielä aivan täsmällinen.
Seuraavaksi määritämme Rajapatsaan rungon x-akselin alapuolisen osan samalla tavoin.
Patsaan perustan leveys 2,71 (kuvassa vihreällä) vastaa luonnollisen logaritmifunktion kantaluvun (neperin luku) likiarvoa (2,71828…) noin 99,7% tarkkuudella. Neperin luku, samoin kuin kultainen suhdeluku, on luonnossa usein ilmenevä matemaattinen vakio, joka voidaan löytää monien kiihtyvää kasvua ilmentävien luonnonilmiöiden taustalta. Näin olemme saaneet valmiiksi Rajapatsaan rungon. Rajapatsaan x-akselin alapuolisen osan korkeus on noin
Rungon korkeus kokonaisuudessaan on siis:
Patsaan perustan leveys ilmentää siis neperin luvun likiarvoa e = 2,71, josta patsas alkaa tasaisesti kaventua huippua kohden. Patsaan leveys x-akselin kohdalla on tasan 2. Rungon x-akselin yläpuolisen osan puolessavälissä eli korkeudella y = √5 (2,236), obeliskin rungon leveys on tasan φ (1,618) ja obeliskin rungon huippukohdassa eli korkeudessa √20 (4,472) rungon leveys on 2ϕ (1,236). Suhde: √20 / 2ϕ = √5φ. Pisteiden (-ϕ, √20) ja (ϕ, √20) väliin syntyy näin ylätasanne, johon mahtuu juuri sopivasti Suuren pyramidin sivupoikkileikkaus, kun yksikkösivuna on hypotenuusa. Tällöin lakikiven korkeus on √ϕ, leveyskateetti ϕ ja hypotenuusa 1. Tämä huippupiste ei ole geometrisesti johdettavissa keskuskuviosta, toisin kuin kohta esiteltävät kaksi muuta huippupistettä, mutta se on matemaattisessa mielessä erittäin kaunis lakikivi rungolle, jonka geometrian perustana toimii Suuren pyramidin sivupoikkileikkaus. Obeliskin lakikiven yksikkösivuna on hypotenuusa, kun taas keskuskuvion sivupoikkileikkauksen yksikkösivuna on leveyskateetti. Näin Suuren pyramidin sivupoikkileikkauksen geometria voidaan löytää sekä patsaan sydämestä että sen lakikivestä.
Patsaan geometria tuottaa x-akselin yläpuolisen osan korkeudeksi √20, mikä on siis yhtä kuin √5 + √5. Täsmälleen puolessavälissä eli patsaan x-akselin yläpuolisen osan korkeudella √5 patsaan leveys on täsmälleen φ (1,618). Mikään poikkiviiva tai piste ei erikseen määritä tätä matemaattisesti kiinnostavaa kohtaa. Jos siirrämme tarkastelumme kartalle, tämä piste sijaitsee lähellä Kuusamo–Pääjärvi–Louhi -janaa, joka leikkaa leveysasteen 66.139669°. Tällä leveysasteella maapallon ympärysmitta on täsmälleen φ x 10 000 = 16 180,339 kilometriä. Leveysasteen ympärysmitta voidaan johtaa ympyrän geometriaa ja trigonometriaa soveltaen maapallon ympärysmitasta seuraavasti:
Cos 66.139669 x 40 000 km = 16 180,34 km.
Näin ollen sekä patsaan leveys että maapallon ympärysmitta tuottavat suhdeluvun φ likiarvon maantieteellisesti likimain samalle alueelle.
Patsaan geometria tuottaa x-akselin yläpuolisen osan korkeudeksi √20, mikä on siis yhtä kuin √5 + √5. Täsmälleen puolessavälissä eli patsaan x-akselin yläpuolisen osan korkeudella √5 patsaan leveys on täsmälleen φ (1,618). Mikään poikkiviiva tai piste ei erikseen määritä tätä matemaattisesti kiinnostavaa kohtaa. Jos siirrämme tarkastelumme kartalle, tämä piste sijaitsee lähellä Kuusamo–Pääjärvi–Louhi -janaa, joka leikkaa leveysasteen 66.139669°. Tällä leveysasteella maapallon ympärysmitta on täsmälleen φ x 10 000 = 16 180,339 kilometriä. Leveysasteen ympärysmitta voidaan johtaa ympyrän geometriaa ja trigonometriaa soveltaen maapallon ympärysmitasta seuraavasti:
Cos 66.139669 x 40 000 km = 16 180,34 km.
Näin ollen sekä patsaan leveys että maapallon ympärysmitta tuottavat suhdeluvun φ likiarvon maantieteellisesti likimain samalle alueelle.
Muutamia huomioita Rajapatsaan x-akselin yläpuolisen osan geometrisistä piirteistä. Rajapatsaan perustana toimii Suuren pyramidin sivupoikkileikkaus, jonka yksikkösivuna on leveyskateetti. Näin patsaan leveys koordinaatiston x-akselin korkeudella (y=0) on 2. Patsas kaventuu tasaisesti ylöspäin siten, että kun y = √5 patsaan leveys on φ ja kun y = √20 leveys on 2ϕ. Korkeudella y = √20 patsaan geometria muodostaa luonnollisen tasanteen lakikivelle, johon sopii Suuren pyramidin sivupoikkileikkaus, kun yksikkösivuna on hypotenuusa ja kateetteina ϕ ja √ϕ. Patsaan yläosan korkeuden ja ylätasanteen välinen suhde: √20 / 2ϕ = √5φ. X-akselin yläpuolisen osan korkeudeksi lakikivi mukaan lukien tulee 2φ2 noin 99,6 % tarkkuudella. Rajapatsaasta on myös johdettavissa luvun √3 likiarvo kuvan osoittamalla tavalla noin 99,98% tarkkuudella. Rajapatsaan x-akselin yläosan geometria ilmentää muun muassa kultaisen leikkauksen suhdelukuja ϕ, φ ja φ2, neliöjuuria √5 ja √3 ja Suuren pyramidin leveyden ja korkeuden likiarvoja metreissä. Kun siirrämme tarkastelumme karttapallolle ja kerromme kyseiset suhdeluvut sadalla, saamme Rajapatsaan mitat suoraan kilometreissä. Esimerkiksi patsaan leveys korkeudella y = √5 on φ x 100 km eli 161,80339 kilometriä. Oikeanpuoleisessa kuvassa ruskea poikkiviiva symboloi Kuusamo-Pääjärvi-Louhi janaa, joka leikkaa leveysasteen 66.139669. Tällä leveysasteella maapallon laskennallinen ympärysmitta on φ x 10 000 kilometriä: Cos 66.139669 x 40 000 km = 16 180,34 km.
Edellä määritellyn lakipisteen ohella Rajapatsaalle voidaan määrittää geometrisesti vielä kaksi muutakin lakipistettä. Ensimmäinen niistä syntyy piirrettäessä janat siivekkeiden kärkipisteistä rungon huippukulmien kautta janojen leikkauspisteeseen, joka sijoittuu koordinaatiston korkeudelle 6,603. Tämä kärkipiste on maantieteellisessä mielessä kiinnostava sillä se pysähtyy hyvin tarkasti 70 leveysasteelle.
Kolmas huippu löytyy, kun obeliskin rungon annetaan kaventua tasaisesti loppuun saakka. Tosin tällöin kyseessä ei ole enää obeliskin kärki, vaan pikemminkin tähden terävä sakara. Kaiken kaikkiaan keskuskuvion geometriasta on johdettavissa kahdeksan tällaista sakaraa, mikä tarkoittaa kahdeksansakaraista tähteä. Myös tähden pohjoissakara on matemaattisgeometrisessa mielessä erittäin kaunis, kuten seuraavasta kuvasta käy ilmi.
Kuvassa tähden sakaroiden kärkipisteiden koordinaatit. Taulukossa sakaroiden ääripisteistä mitattu likiarvoinen matka koordinaatiston nollapisteeseen (Origoon) sekä metreissä että muinaisegyptiläisissä kyynärissä ilmaistuna.