86. Kultainen suhdeluku

Jo muinaisessa Egyptissä tiedettiin, että kauniit harmoniset sävelet olivat ilmaistavissa yksinkertaisina matemaattisina suhdelukuina. Näin opetti muun muassa kreikkalainen filosofi Pythagoras, joka vietti nuoruudessaan yli kymmenen vuotta egyptiläisten pappien opissa ja toi oppinsa Egyptistä Kreikkaan. Se, että ihminen kykeni intuitiivisesti erottamaan kauniit sävelet pelkästä äänien kaaoksesta eli kakofoniasta, toimi todistuksena ihmisen sisäsyntyisestä järjestyksentajusta, joka oli perimältään matemaattisperusteista ja yhtä universaalin järjen ja järjestyksen kanssa, joka toimi koko maailmankaikkeuden järjestyksen perustana. Nimenomaan järki teki ihmisestä henkisen olennon. Järkensä avulla ihminen kykeni ymmärtämään paitsi musiikin kauneuden, myös aistitodellisuutta perustavamman järjestyksentason olemassaolon, joka oli matemaattisperustainen ja toimi aistein havaittavan todellisuuden taustalla.

Se, että kauniit matemaattiset lukusuhteet tuottivat kauniita harmonisia säveliä, jotka ihminen kykeni intuitiivisesti tunnistamaan kauniiksi, tunnistettiin ihmisen sisäsyntyiseksi järjestyksentajuksi. Samanlaista intuitiivisesti oivallettavaa matemaattista kauneutta oli havaittavissa myös luonnon järjestäytymisessä. Luonnossa eräs keskeisin matemaattisen järjestyksen ilmentymä ennen luonnontieteiden esiintuloa oli paljain silmin havaittavissa oleva kultainen suhdeluku, joka toistui luonnossa lukemattomin eri tavoin. Matemaattisesti voimme johtaa sen niin sanotusta Fibbonaccin lukujonosta. Fibbonaccin lukujonossa kahden edellisen luvun summa antaa aina seuraavan luvun arvon. Lukujono aloitetaan luvuista 0 ja 1:

0 + 1 = 1,
1 + 1 = 2,
1 + 2 = 3,
2 + 3 = 5,
3 + 5 = 8, ja niin edelleen.

Lukujonon ensimmäiset kaksitoista lukua järjestyksessä ovat 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Fibbonaccin lukujonossa peräkkäisten lukujen välinen suhde lähenee jatkuvasti kultaista suhdelukua 'fii' ϕ = 0,6180339887... Kun vaihdamme luvut toisinpäin eli kun jaamme suuremman luvun pienemmällä luvulla, saamme toisen fiin arvon: φ = 1,6180339887.... Esimerkiksi:

89 / 55 = 1,61818 = φ
55 / 89 = 0,61797 = ϕ

Mitä pidemmälle lukujonossa etenemme, sitä tarkempia ϕ:n ja φ:n arvoja saamme. Samaan aikaan suhteiden välinen erotus lähestyy lukua 1:

1,61818... - 0,61797... = 1,0002...

Kun kultaiset suhdeluvut lasketaan yhteen, saadaan vastaukseksi yllättäen luvun 5 neliöjuuri:

ϕ + φ = √5
0,618... + 1,618... = 2,236....

Nämä luvut ja niiden väliset yhteydet ovat keskeisessä osassa myös todellisten pyramidien geometriaa, kuten pian huomaamme.

Fibbonaccin lukujonossa kahden peräkkäisen luvun suhde tuottaa alati tarkentuvan kultaisen leikkauksen likiarvon, joita kuvassa havainnollistetaan punaisen ja sinisen murtoviivan avulla. Punainen murtoviiva kuvaa Fibbonaccin lukujonon peräkkäisten jäsenten välistä suhdetta, kun lukujonon edeltävä lukuarvo jaetaan jälkeen tulevan lukuarvolla (esim. 1/1=1, 1/2=0,5, 2/3 = 0,666, jne.). Punainen murtoviiva lähestyy jatkuvasti lukuarvoa ϕ = 0,6180339887... Myös sininen murtoviiva kuvaa lukujonon peräkkäisten jäsenten välistä suhdetta, mutta käänteisesti (1/1=1, 2/1=2, 3/2=1,5, jne.). Sininen murtoviiva lähestyy jatkuvasti lukuarvoa φ = 1,6180339887.... Vihreä murtoviiva kuvaa punaisen ja sinisen murtoviivan esittämien lukuarvojen erotusta, joka puolestaan lähestyy jatkuvasti lukua 1. Mitä pidemmälle murtoviivoja jatketaan, sitä tarkempia arvoja saavutetaan. Koordinaatistolle asetettuna kaikki murtoviivat yhdessä muodostavat y-akselin suunnassa alati tarkentuvan kultaista leikkausta kuvaavan janan kuvan oikeaan laitaan.

Likiarvo 0,61803399... (symboli: ϕ) tai sen käänteisluku 1,61803399... (symboli: φ) löytyvät usein luonnon arkkitehtuurin mittasuhteista, mutta aivan erityisen usein kultainen suhdeluku löytyy luonnosta ympyrän muodossa. Ympyrän tapauksessa kultaisen leikkauksen suhdelukua vastaa kulman suuruus: 360° - (360° x ϕ) = 137,5°. Vielä suoraviivaisempi tapa kultaisen kulman esiintuomiseen on ympyrän kehän jakaminen luvulla φ² (2,61803399…).

360° / φ² = 137,5°.

Kultainen kulma napakoordinaatistossa: 360° / φ² = 137,507°. Astelukujen 137,51 ja 222,49 välinen suhde ilmentää kultaista suhdelukua ympyrän geometriassa. Vastaavat luvut radiaaneissa ovat 2,40 ja 3,88. Lukujen summa 6,28 vastaa täyttä ympyrän kehää radiaaneissa.

Luonnossa esimerkiksi monien mykerökukkaisten kasvien kukintopohjukseen kiinnittyneet sadat pienet kukkaset ovat järjestäytyneet tiheäksi säännölliseksi spiraalimaiseksi rakenteeksi keskimäärin noin 137,5° kulmassa toistensa suhteen. Kultaisen kulman lisäksi kukkaset noudattavat suoraan myös Fibbonaccin lukujonojen suhteita. Suurten auringonkukkien tapauksessa kukintopohjukseen kiinnittyneet kukkaset ovat järjestäytyneet tyypillisesti 55 ja 89 kukkasta, tai jopa 89 ja 144 kukkasta käsittäviin spiraalimaisesti kiertyviin jonoihin. Myös esimerkiksi kuusen käpyjen suomut ovat järjestäytyneet spiraalimaisesti siten, että toiseen suuntaan kiertäviä spiraaleja on tavallisesti 5 ja toiseen suuntaan kiertäviä 8. Suurista kävyistä voi löytyä jopa lukujen 13 ja 21 yhdistelmiä.