91. 1. todellinen pyramidi

Vuonna 2014 Christopher Bartlett julkaisi arkkitehtuuriin ja matematiikkaan keskittyneessä Nexus Network Journal -julkaisussa artikkelin nimeltä The Design of The Great Pyramid of Khufu. Tutkimuksessaan Bartlett tahtoi saada selvyyden läpi vuosisatojen velloneisiin väitteisiin, joiden mukaan Gizan Suuren pyramidin geometria ilmensi joko piin likiarvoa, kultaista suhdelukua tai niitä molempia samanaikaisesti. Lopullisen vastauksen saaminen oli vuosisatojen varrella ollut ongelmallista johtuen muun muassa pyramidin perustukset peittäneestä useiden metrien hiekka- ja kivikerroksesta, pyramidin valtavasta koosta, pyramidin lakikiven puuttumisesta ja pyramidiin kohdistuneesta eroosiosta. Nykyaikana pyramidin alkuperäiset mittasuhteet ovat kuitenkin hyvin suurella tarkkuudella johdettavissa muun muassa pyramidin juurelta löytyneiden alkuperäisten kulmakivien ja päällyskivien sijaintien perusteella sekä niiden muotoa ja asemointia tutkimalla. Näiden mittausten perusteella pyramidin alkuperäiset mitat on kyetty määrittämään varsin tarkasti samalla kun mittasuhteiden virhemarginaali on saatu kavennettua suhteellisen pieneksi.

Selvittääkseen pyramidin todennäköisimmät mittasuhteet Bartlett päätti kerätä kaikki keskeisimmät Gizan Suurta pyramidia käsittelevät mittaustulokset yhteen vuosien 1840-2012 väliseltä ajalta laskeakseen niiden pohjalta keskiarvot pyramidin korkeudelle ja sivun pituudelle. Menemättä tarkemmin tutkimuksen yksityiskohtiin, lopputulos oli tämä: Gizan Suuri pyramidi ei ilmennä yksipuolisesti sen enempää ympyrän geometriaa kuin kultaista suhdelukuakaan, vaan yhtä aikaa niitä molempia. Riippuen siitä kenen mittaustuloksia käytämme tai kuinka mittaustuloksia tulkitsemme, saamme lopputulokseksi aina joko ympyrän geometriaa tai kultaista suhdelukua myötäilevän vastauksen. Ero näiden tulkintojen välillä on niin pieni, ettei oikeasta tulkinnasta ole mielekästä kiistellä. Oikea vastaus ei ole joko tai vaan sekä että.

Voimme todeta tämän itsekin laskemalla pyramidin mittasuhteet yleisesti hyväksyttyjen korkeus- ja leveysmittojen 280/440 mukaan. Näiden mittojen pohjalta pyramidin mittasuhteet ilmentävät ympyrän geometriaa 99,96 % tarkkuudella ja kultaista suhdelukua 99,94 % tarkkuudella. Emme tietenkään voi valita näistä vain toista ja hylätä toista. Yhtä lailla älyllisesti epärehellistä olisi väittää, etteikö Suuren pyramidin arkkitehti olisi tuntenut tämän nimenomaisen pyramidigeometrian matemaattisgeometrista erityislaatuisuutta. Kaikki todellisten pyramidien mittasuhteissa, sijainnissa ja asemoinnissa on äärimmäisen tarkasti ja huolella harkittua – kuten pyramidien pohjapiirrokset ovat meille juuri osoittaneet.

Suuren pyramidin mittasuhteet arvoilla 280/440 laskettuna. 1. pyramidi ilmentää yhtä aikaa sekä ympyrän geometriaa (99,96 % tarkkuudella) että kultaista suhdelukua (99,94 % tarkkuudella). Lisäksi pyramidin pohjaneliön pinta-alan ja julkisivun pinta-alan välinen suhde noudattaa kultaista suhdelukua 99,92 % tarkkuudella.

Sitten hieman yleistä asiaa symmetristen pyramidien rakenteesta 1. pyramidin geometriaa esimerkkinä käyttäen.

Kaikki todelliset pyramidit ovat suunnattu tarkoin pääilmansuuntien mukaan. Pyramidi voi näyttää itsestään kaksi tyystin erilaista silhuettia maanpinnalta käsin tarkasteltuna. Jos pyramidia tarkastellaan jostain pääilmansuunnasta käsin, nousee se ylös korkeana ja terävänä. Tällöin katsoja näkee pyramidista kerrallaan vain yhden sivun. Sen sijaan, jos pyramidia tarkastellaan jostain väli-ilmansuunnasta käsin, näkee katsoja kerralla kaksi sivua ja pyramidin silhuetti aukeaa edessä leveänä ja loivana. Nimitän näitä silhuetteja sivupoikkileikkaukseksi ja kulmapoikkileikkaukseksi.

Kun kyseessä on symmetrinen neliöpohjainen pyramidi, kaikki tarvittavat mittasuhteet ovat laskettavissa pyramidin korkeuden ja pohjaneliön sivun pituuden kautta Pythagoraan lauseen avulla. Gizan Suuren pyramidin tapauksessa nämä luvut ilmoitetaan tyypillisesti kyynärissä ja ne ovat 280/440.

Gizan 1. pyramidin pohjaneliö, sivupoikkileikkaus ja kulmapoikkileikkaus. Mitat kyynärissä. Korkeuden ja pohjaneliön sivun pituuden suhde: 280/440 ≈ 2/π.

Pyramidigeometrian tarkempi tutkiminen edellyttää, että muunnamme mittasuhteet yksikkömuotoon. Tällä tarkoitan tutkittavan kohteen – esimerkiksi pyramidin korkeuden – ilmoittamista luvulla 1, johon kaikki pyramidin muut mittasuhteet suhteutetaan. Tällöin emme ole enää riippuvaisia mistään tietyistä mittayksiköistä, kuten kyynäristä tai metreistä, vaan tutkimuksemme perustana toimii pelkkä matemaattinen yksikkö. Samalla meille paljastuu välittömästi kaikki matemaattisesti merkitykselliset suhdeluvut.

Symmetrisen pyramidin sivu- ja kulmapoikkileikkaukset noudattelevat suorakulmaisen kolmion geometriaa ja ne koostuvat aina korkeuskateetista, leveyskateetista ja hypotenuusasta. Erityisen huomionarvoista 1. pyramidin geometriassa on se, että kaikki mittasuhteet ovat ilmaistavissa kultaisen leikkauksen suhdelukujen ϕ ja φ tai niiden neliöjuurten kautta. Myös yksikkösivun pituus voidaan ilmaista kultaisen leikkauksen suhdeluvuilla: ϕ + ϕ² = 1. Annamme kunkin sivun toimia vuorollaan yksikkösivuna ja piirrämme kaikki näin muodostuvat erikokoiset mutta samanmuotoiset suorakulmaiset kolmiot samaan kuvaan näkyviin.

Sivupoikkileikkauksen määrittävää sivua 1 vaihtamalla voidaan Suuren pyramidin sivupoikkileikkauksesta löytää yhteensä 4 erilaista kultaisen leikkauksen variaatiota: φ = 1,618; √φ = 1,272; √ϕ = 0,786; ϕ = 0,618. Samalla syntyy kolme eri suuruista mutta saman muotoista suorakulmaista kolmiota, kuten alla olevasta kuvasta on nähtävissä. Näistä kolmioista suurin ja pienin ovat merkittävässä roolissa kirjasarjan viimeisessä osassa. Keskimmäinen (korkeus = 1) puolestaan vastaa Stadelmannin lakikiven mittasuhteita, kun yksikkösivun mittayksikkönä on metri.

Sivupoikkileikkauksesta johdetun suorakulmaisen kolmion yksikkösivua vaihtamalla saamme muodostettua kolme samanmuotoista mutta eri suuruista kolmiota, joiden kaikki sivut (myös kulmapoikkileikkauksen kaikki sivut) ovat ilmaistavissa kultaisen suhdeluvun arvoja käyttämällä.

Suuren pyramidin ilmentämä geometrinen kytkös kultaiseen suhdelukuun ja ympyrän geometriaan korostuu, kun piirrämme nämä sivupoikkileikkaukset sisäkkäin samaan koordinaatistoon ja liitämme kuvion mittasuhteisiin ympyrän, jonka säde on √ϕ. Tämä ympyrä määrittää pienimmän suorakulmaisen kolmion korkeuden (A) ja keskimmäisen kolmion pohjakateetin leveyden (B). Lisäksi suurimman kolmion hypotenuusa määrittää ympyrän tangentin (C) kuvan osoittamalla tavalla. Kun origon ja pisteen C välille piirretään jana, määrittää se kultaisen leikkauksen sijainnit kaikille hypotenuusille. Tämänkaltainen geometrinen sopusointu ympyrän geometrian, kultaisen leikkauksen ja pyramidigeometrian välillä on tyypillistä vain tälle nimenomaiselle pyramidimuodolle. Maailmassa on vain yksi Suuri pyramidi. Todennäköisyys sille, että näin hienostunut geometria olisi valikoitunut Suuren pyramidin muodoksi puhtaasti sattumalta, on käytännössä mitätön.

Piste A määrittää ympyrän säteen ja pienimmän kolmion korkeuden. Piste B määrittää keskimmäisen kolmion leveyden ja suurimman kolmion hypotenuusa määrittää ympyrän tangentin pisteessä C. Piste C määrittää myös kultaisen leikkauksen sijainnin hypotenuusalle. Kun piirrämme pisteestä C janan suoraan origoon, leikkaa se kaikki sivupoikkileikkauksen hypotenuusat täsmälleen kultaisen leikkauksen kohdalta. Samalla pienimmän sivupoikkileikkauksen hypotenuusa jakaa myös origoon kulkevan janan kultaisen leikkauksen suhteessa.

Jos pyramidista lähdetään rakentamaan pienoismallia, voidaan pyramidin rakenteen katsoa koostuvan kaikkiaan neljästä eri pääkomponentista. Koska sivu- ja kulmapoikkileikkaukset ovat merkityksellinen osa pyramidin geometriaa, määrittelen ne omiksi komponenteikseen. Pääkomponentit ovat: 1 x pohjaneliö, 4 x sivupoikkileikkaus (suorakulmainen kolmio), 4 x kulmapoikkileikkaus (suorakulmainen kolmio) ja 4 x julkisivu (tasakylkinen kolmio).

Pyramidin pienoismallia rakennettaessa voi yksikkögeometrian arvot mieltää senteiksi ja kertoa kymmenellä. Tällöin pyramidin pohjaneliön sivun pituudesta tulee 15,71 senttimetriä ja pyramidista tulee mukavasti käteen sopiva.

Suuren pyramidin neljä pääkomponenttia, kun yksikkönä on korkeus. Pääkomponentit vasemmalta oikealle: 1. Pohjaneliö 2. Sivupoikkileikkaus 3. Kulmapoikkileikkaus 4. Julkisivu. Kuten kuvasta on nähtävissä, kaikki pääkomponenttien mittasuhteet ovat ilmaistavissa kultaisen leikkauksen suhdelukujen ϕ ja φ tai niiden neliöjuurten erilaisten variaatioiden kautta. Jos mittayksiköksi mielletään metri, kuvaavat komponentit tällöin suoraan Dahshurin 4. pyramidin juurelta löytyneen lakikiven (Stadelmannin lakikiven) mittasuhteita metreissä. Pohjaneliön piirin pituus 6,28 m vastaa tällöin metrin säteisen ympyrän kehän pituutta. Pyramidin pohjaneliön piirin ja korkeuden välinen suhde on tau: 6,28 / 1 = 2π = τ.

Myös Suuren pyramidin pohjaneliön pinta-alan suhde pyramidin julkisivun pinta-alaan noudattaa hyvin täsmällisesti kultaista suhdelukua: 

Pohjaneliön pinta-ala / julkisivun pinta-ala:

(1,571 x 1,571) / (1,571 x 1,272 x 2)
2,468041 / 3,996624 = 0,618 ≈ ϕ